Vamos a obtener el m.c.m., o sea el menor múltiplo común, de tres números: 5, 10 y 4
Para ello debemos descomponer en factores los tres números:
4 = 22
10 = 2 . 5
5 = 5
Ahora tomamos todos los factores comunes y no comunes con el mayor exponente y los multiplicamos
m.c.m. = 5 . 22 = 5 . 4 = 20
miércoles, enero 24, 2007
Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.)
El mínimo común múltiplo (m. c. m.) de dos o más números es el menor múltiplo común distinto de cero.
Ejemplo: Averiguar el m.c.m. de Sacar el M.C.D. de 20 y 10:
20:
20, 40, 60, 80...
10:
10, 20, 30...
20 es el múltiplo menor que es común a ambos números.
Multiplos: los múltiplos de un número se obtienen multiplicando dicho número por los números naturales 0, 1, 2, 3, 4, 5.....
Ejemplo: múltiplos del 7: 7x0=0; 7x1=7; 7x2=14; 7x3=21; 7x4=28; 7x5=35 ....
O sea son múltiplos del 7:, 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 48, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105, 112, 119, 126, 133, 140, 147, 154, 161, 168...
Ejemplo: Calcular el m. c. m. de 4, 5 y 6.
Se hace la descomposición de factores (que ya la explicamos en el máximo común divisor). Lo hacemos de la siguiente forma:
4= 2x25= 56= 2x3
Se toman los factores comunes y no comunes con el mayor exponente y se multiplican: 2x2 x3 x5 = 60. El mcm de 4,5 y 6 es 60.
Ejemplo: Averiguar el m.c.m. de Sacar el M.C.D. de 20 y 10:
20:
20, 40, 60, 80...
10:
10, 20, 30...
20 es el múltiplo menor que es común a ambos números.
Multiplos: los múltiplos de un número se obtienen multiplicando dicho número por los números naturales 0, 1, 2, 3, 4, 5.....
Ejemplo: múltiplos del 7: 7x0=0; 7x1=7; 7x2=14; 7x3=21; 7x4=28; 7x5=35 ....
O sea son múltiplos del 7:, 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 48, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105, 112, 119, 126, 133, 140, 147, 154, 161, 168...
Ejemplo: Calcular el m. c. m. de 4, 5 y 6.
Se hace la descomposición de factores (que ya la explicamos en el máximo común divisor). Lo hacemos de la siguiente forma:
4= 2x25= 56= 2x3
Se toman los factores comunes y no comunes con el mayor exponente y se multiplican: 2x2 x3 x5 = 60. El mcm de 4,5 y 6 es 60.
Máximo Común Divisor (M.C.D.)
El máximo común divisor de dos o más números es el número, más grande posible, que permite dividir a esos números.
Para calcularlo. De los números que vayas a sacar el máximo común divisor, se ponen uno debajo del otro, se sacan todos los divisores de los dos números y el máximo que se repita es el máximo común divisor (M.C.D.)
Ejemplo: Sacar el M.C.D. de 20 y 10:
20:
1, 2, 4, 5, 10 y 20
10:
1, 2, 5 y 10
Esto sirve para números pequeños. Pero para números grandes hay otra manera: la descomposición de factores.
Forma rápida de calcular el Máximo común Divisor (M.C.D.).
Ejemplo: Sacar el M. C. D. de 40 y 60:
1º Tienes que saber las reglas divisibilidad. Haces la descomposición de factores poniendo números primos. Por ejemplo para 40, en la tabla de abajo, se va descomponiendo en 2, 2, 2 y 5.
2º De los resultados, se cogen los números repetidos de menor exponente y se multiplican y ese es el M.C.D.
40 = 2x2x2x5
60 = 2x2x3x5
MCD = 2x2x5= 20
Para calcularlo. De los números que vayas a sacar el máximo común divisor, se ponen uno debajo del otro, se sacan todos los divisores de los dos números y el máximo que se repita es el máximo común divisor (M.C.D.)
Ejemplo: Sacar el M.C.D. de 20 y 10:
20:
1, 2, 4, 5, 10 y 20
10:
1, 2, 5 y 10
Esto sirve para números pequeños. Pero para números grandes hay otra manera: la descomposición de factores.
Forma rápida de calcular el Máximo común Divisor (M.C.D.).
Ejemplo: Sacar el M. C. D. de 40 y 60:
1º Tienes que saber las reglas divisibilidad. Haces la descomposición de factores poniendo números primos. Por ejemplo para 40, en la tabla de abajo, se va descomponiendo en 2, 2, 2 y 5.
2º De los resultados, se cogen los números repetidos de menor exponente y se multiplican y ese es el M.C.D.
40 = 2x2x2x5
60 = 2x2x3x5
MCD = 2x2x5= 20
PROBLEMAS DE DIVISIBILIDAD
Primer problema
Un coche necesita que le cambien el aceite cada 9.000 km, el filtro del aire cada 15.000 km y las bujías cada 30.000 km. ¿ A qué número mínimo de kilómetros habrá que hacerle todos los cambios a la vez?
Solución
El coche realizará los siguientes cambios: De aceite: {9.000 Km., 18.000 Km., 27.000 Km, ...} Del filtro: {15.000 Km., 30.000 Km., 45.000 Km., ...} De bujías: {30.000 Km., 60.000 Km., 90.000 Km., ...} Comonpodemos comprobar los cambios se efectúan en múltiplos de 9.000, 15.000 y 30.000, como estamos buscando cuando se realizarán los tres cambios a la vez, estamos buscando un múltiplo común. Dado que también nos piden que el número buscado sea lo más pequeño posible, estamos buscando el M.C.M.(9.000,15.000,30.000)=90.000 Luego se realizarán los tres cambios simultáneamente por primera vez a los 90.000 Km.
Segundo problema
Un comerciante desea poner en cajas 12.028 manzanas y 12.772 naranjas de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o de naranjas y además el mayor número posible de ellas. Hallar el número de naranjas y de manzanas de cada caja.
Solución
El comerciante puede poner las manzanas en cajas de 2 unidades, de 4 unidades, de 31 unidades, etc., en definitiva puede agruparlas en cajas que contengan cualquier divisor de 12.028. Igualmente ocurre con la naranjas, cajas de 2 unidades, de 4 unidades, etc, todos los divisores de 12.772. Puesto que el número de una caja de naranjas debe ser el mismo que el de una caja de manzanas, estamos buscando un divisor común, que además se nos pide que sea el mayor posible, este número es el M.C.D.(12.028,12.772)=124 Luego las cajas deben contener 124 unidades de naranjas o 124 unidades de nanzanas.
Un coche necesita que le cambien el aceite cada 9.000 km, el filtro del aire cada 15.000 km y las bujías cada 30.000 km. ¿ A qué número mínimo de kilómetros habrá que hacerle todos los cambios a la vez?
Solución
El coche realizará los siguientes cambios: De aceite: {9.000 Km., 18.000 Km., 27.000 Km, ...} Del filtro: {15.000 Km., 30.000 Km., 45.000 Km., ...} De bujías: {30.000 Km., 60.000 Km., 90.000 Km., ...} Comonpodemos comprobar los cambios se efectúan en múltiplos de 9.000, 15.000 y 30.000, como estamos buscando cuando se realizarán los tres cambios a la vez, estamos buscando un múltiplo común. Dado que también nos piden que el número buscado sea lo más pequeño posible, estamos buscando el M.C.M.(9.000,15.000,30.000)=90.000 Luego se realizarán los tres cambios simultáneamente por primera vez a los 90.000 Km.
Segundo problema
Un comerciante desea poner en cajas 12.028 manzanas y 12.772 naranjas de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o de naranjas y además el mayor número posible de ellas. Hallar el número de naranjas y de manzanas de cada caja.
Solución
El comerciante puede poner las manzanas en cajas de 2 unidades, de 4 unidades, de 31 unidades, etc., en definitiva puede agruparlas en cajas que contengan cualquier divisor de 12.028. Igualmente ocurre con la naranjas, cajas de 2 unidades, de 4 unidades, etc, todos los divisores de 12.772. Puesto que el número de una caja de naranjas debe ser el mismo que el de una caja de manzanas, estamos buscando un divisor común, que además se nos pide que sea el mayor posible, este número es el M.C.D.(12.028,12.772)=124 Luego las cajas deben contener 124 unidades de naranjas o 124 unidades de nanzanas.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Criterios de divisibilidad
Los criterios de divisibilidad son reglas que sirven para saber si un número es divisible por otro sin necesidad de realizar la división. Aunque pueden buscarse criterios para todos los números, sólo expondremos los más comunes:
Criterio de divisibilidad por 2
Un número es divisible por 2 si acaba en 0 o cifra par.
Ejemplos: Números divisibles por 2: 36,94,521342,40,...
Criterio de divisibilidad por 3
Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
Ejemplos: Números divisibles por 3: 36,2142,42,...
Criterio de divisibilidad por 5
Un número es divisible por 5 si la última de sus cifras es 5 o es 0.
Ejemplos: Números divisibles por 5: 35,2145,40,...
Criterio de divisibilidad por 9
Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
Ejemplos: Números divisibles por 9: 495,945,53640,...
Criterio de divisibilidad por 11
Debemos hacer lo siguiente: Sumamos las cifras que ocupan lugares pares, sumamos las cifras que ocupan lugares impares. A la suma mayor le restamos la suma menor, si la diferencia es 0 o múltiplo de 11, entonces el número es múltiplo de 11.
Ejemplos: Múltiplos de 11: 2343649,9889,18161902,...
Los criterios de divisibilidad son reglas que sirven para saber si un número es divisible por otro sin necesidad de realizar la división. Aunque pueden buscarse criterios para todos los números, sólo expondremos los más comunes:
Criterio de divisibilidad por 2
Un número es divisible por 2 si acaba en 0 o cifra par.
Ejemplos: Números divisibles por 2: 36,94,521342,40,...
Criterio de divisibilidad por 3
Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
Ejemplos: Números divisibles por 3: 36,2142,42,...
Criterio de divisibilidad por 5
Un número es divisible por 5 si la última de sus cifras es 5 o es 0.
Ejemplos: Números divisibles por 5: 35,2145,40,...
Criterio de divisibilidad por 9
Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
Ejemplos: Números divisibles por 9: 495,945,53640,...
Criterio de divisibilidad por 11
Debemos hacer lo siguiente: Sumamos las cifras que ocupan lugares pares, sumamos las cifras que ocupan lugares impares. A la suma mayor le restamos la suma menor, si la diferencia es 0 o múltiplo de 11, entonces el número es múltiplo de 11.
Ejemplos: Múltiplos de 11: 2343649,9889,18161902,...
OPERACIONES COMBINADAS
Las operaciones combinadas son aquellas en las que aparecen varias operaciones aritméticas para resolver.
Para obtener el resultado correcto deben seguirse las siguientes reglas:
- Se resuelven las operaciones encerradas entre paréntesis, corchetes y llaves en el siguiente orden:
1) Potenciación y radicación
2) Multiplicación y división
3) Suma y resta - Se resuelven las sumas y las restas que separan los términos.
Para obtener el resultado correcto deben seguirse las siguientes reglas:
- Se resuelven las operaciones encerradas entre paréntesis, corchetes y llaves en el siguiente orden:
1) Potenciación y radicación
2) Multiplicación y división
3) Suma y resta - Se resuelven las sumas y las restas que separan los términos.
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